Le paradoxe du menteur et le théorème de Tarski | Argument frappant #8

Aujourd’hui, c’est le 1er avril, jour des menteurs, et du coup parlons du paradoxe du menteur ! Pourquoi dire que l’on est en train de ne pas dire la vérité pose problème…

Ce sera l’occasion de parler d’un des plus grands logiciens du 20e siècle, Alfred Tarski, et de ses travaux sur la vérité ; et aussi d’un des résultats les plus importants en logique mathématique : le théorème d’incomplétude de Gödel. Et quand on croise Tarski et le théorème d’incomplétude, on obtient le théorème d’indéfinissabilité de Tarski. Et c’est chouette, si, si.

 

Concernant le « Diagonalization lemma » (ou « diagonal lemma »)

Le « Diagonalization lemma » (je ne l’écrit pas en français car il ne semble pas qu’il soit d’usage de s’y référer ainsi, et cela pourrait créer une confusion avec l’argument de la diagonale de Cantor) est une étape cruciale dans la preuve de Gödel pour montrer en quoi son codage permet de construire des formules auto-référentielles. Vous trouverez la preuve de ce lemme sur Wikipedia ou sur la Stanford Encyclopedia of philosophy, mais la plus claire explication que j’en ai lue se trouve dans un bref papier de Richard Heck dénué de tout symbole logique ; je ne saurais trop vous en recommander la lecture si vous voulez vraiment comprendre ce lemme.

L’exposition du lemme dans ce papier est informelle (au sens où elle s’applique à un langage naturel plutôt qu’à un langage formel) mais elle n’en est pas moins parfaitement rigoureuse sur le plan logique, et cela permet de comprendre bien plus aisément ce qu’exprime ce lemme. Cela permet aussi de comprendre qu’en fin de compte ce lemme n’a rien de proprement arithmétique ; il s’applique à toute théorie satisfaisant ces deux conditions : (1) qu’il y ait dans le langage de la théorie un système permettant à des expressions du langage de référer à des formules du langage ; (2) que l’on puisse exprimer des opérations syntaxiques de substitution dans les formules de ce langage. (Dans le cas de l’arithmétique, (1) est rendu possible par le codage de Gödel et (2) par la quantification.) Le théorème de Tarski dérivant seulement de ce lemme, il est valable pour tout langage satisfaisant (1) et (2) ; donc c’est un résultat plus général que s’il valait seulement pour les systèmes formalisant l’arithmétique.

 

La machine à expérience de Robert Nozick – Argument frappant #7

 

 

En complément un peu plus littéraire, voici un très court conte de Voltaire que je trouve assez savoureux et qui traite, me semble-t-il, un sujet assez voisin. Cela date de 1759 et s’intitule Histoire d’un bon Bramin.

Je rencontrai dans mes voyages un vieux bramin, homme fort sage, plein d’esprit, et très-savant ; de plus, il était riche, et, partant, il en était plus sage encore : car, ne manquant de rien, il n’avait besoin de tromper personne. Sa famille était très-bien gouvernée par trois belles femmes qui s’étudiaient à lui plaire ; et, quand il ne s’amusait pas avec ses femmes, il s’occupait à philosopher.

Près de sa maison, qui était belle, ornée et accompagnée de jardins charmants, demeurait une vieille Indienne, bigote, imbécile, et assez pauvre.

Le bramin me dit un jour : « Je voudrais n’être jamais né. » Je lui demandai pourquoi. Il me répondit : « J’étudie depuis quarante ans, ce sont quarante années de perdues ; j’enseigne les autres, et j’ignore tout ; cet état porte dans mon âme tant d’humiliation et de dégoût que la vie m’est insupportable ; je suis né, je vis dans le temps, et je ne sais pas ce que c’est que le temps ; je me trouve dans un point entre deux éternités, comme disent nos sages, et je n’ai nulle idée de l’éternité ; je suis composé de matière ; je pense, je n’ai jamais pu m’instruire de ce qui produit la pensée ; j’ignore si mon entendement est en moi une simple faculté, comme celle de marcher, de digérer, et si je pense avec ma tête comme je prends avec mes mains. Non-seulement le principe de ma pensée m’est inconnu, mais le principe de mes mouvements m’est également caché : je ne sais pourquoi j’existe ; cependant on me fait chaque jour des questions sur tous ces points : il faut répondre ; je n’ai rien de bon à dire ; je parle beaucoup, et je demeure confus et honteux de moi-même après avoir parlé.

« C’est bien pis quand on me demande si Brama a été produit par Vitsnou, ou s’ils sont tous deux éternels. Dieu m’est témoin que je n’en sais pas un mot, et il y paraît bien à mes réponses. Ah ! mon révérend père, me dit-on, apprenez-nous comment le mal inonde toute la terre. Je suis aussi en peine que ceux qui me font cette question : je leur dis quelquefois que tout est le mieux du monde ; mais ceux qui ont été ruinés et mutilés à la guerre n’en croient rien, ni moi non plus ; je me retire chez moi accablé de ma curiosité et de mon ignorance. Je lis nos anciens livres, et ils redoublent mes ténèbres. Je parle à mes compagnons : les uns me répondent qu’il faut jouir de la vie, et se moquer des hommes ; les autres croient savoir quelque chose, et se perdent dans des idées extravagantes ; tout augmente le sentiment douloureux que j’éprouve. Je suis prêt quelquefois de tomber dans le désespoir, quand je songe qu’après toutes mes recherches je ne sais ni d’où je viens, ni ce que je suis, ni où j’irai, ni ce que je deviendrai. »

L’état de ce bon homme me fit une vraie peine : personne n’était ni plus raisonnable ni de meilleure foi que lui. Je conçus que plus il avait de lumières dans son entendement et de sensibilité dans son cœur, plus il était malheureux.

Je vis le même jour la vieille femme qui demeurait dans son voisinage : je lui demandai si elle avait jamais été affligée de ne savoir pas comment son âme était faite. Elle ne comprit seulement pas ma question : elle n’avait jamais réfléchi un seul moment de sa vie sur un seul des points qui tourmentaient le bramin ; elle croyait aux métamorphoses de Vitsnou de tout son cœur, et pourvu qu’elle pût avoir quelquefois de l’eau du Gange pour se laver, elle se croyait la plus heureuse des femmes.

Frappé du bonheur de cette pauvre créature, je revins à mon philosophe, et je lui dis :« N’êtes-vous pas honteux d’être malheureux, dans le temps qu’à votre porte il y a un vieil automate qui ne pense à rien, et qui vit content ? — Vous avez raison, me répondit-il ; je me suis dit cent fois que je serais heureux si j’étais aussi sot que ma voisine, et cependant je ne voudrais pas d’un tel bonheur. »

Cette réponse de mon bramin me fit une plus grande impression que tout le reste ; je m’examinai moi-même, et je vis qu’en effet je n’aurais pas voulu être heureux à condition d’être imbécile.

Je proposai la chose à des philosophes, et ils furent de mon avis. « Il y a pourtant, disais-je, une furieuse contradiction dans cette façon de penser ; car enfin de quoi s’agit-il ? d’être heureux. Qu’importe d’avoir de l’esprit ou d’être sot ? Il y a bien plus : ceux qui sont contents de leur être sont bien sûrs d’être contents ; ceux qui raisonnent ne sont pas si sûrs de bien raisonner. Il est donc clair, disais-je, qu’il faudrait choisir de n’avoir pas le sens commun, pour peu que ce sens commun contribue à notre mal-être. » Tout le monde fut de mon avis, et cependant je ne trouvai personne qui voulût accepter le marché de devenir imbécile pour devenir content. De là je conclus que, si nous faisons cas du bonheur, nous faisons encore plus de cas de la raison.

Mais, après y avoir réfléchi, il paraît que de préférer la raison à la félicité, c’est être très-insensé. Comment donc cette contradiction peut-elle s’expliquer ? comme toutes les autres. Il y a là de quoi parler beaucoup.

 

Il y a là de quoi parler beaucoup, en effet ! Mais ayant assez parlé dans la vidéo, je vais me taire…

 

7 expériences de pensée avec Science4All | Serez-vous utilitariste jusqu’au bout ? Argument frappant #6

 

La vidéo de Lê à laquelle je participe : c’est par ici !

Toutes ces expériences de pensées sont dérivées du fameux dilemme du tramway décrit pour la première fois par Philippa Foot en 1967 et qui a inspiré des dizaines de variantes et des centaines d’articles ! (Je me suis plus particulièrement inspiré de la variante « du chirurgien » introduite par Judith Jarvis Thomson, la même à qui l’on doit l’argument du violoniste.) Les discussions sur ces dilemmes et leurs subtiles variations sont complexes et passionnantes, et j’en parlerai sans doute lorsque je ferai une suite à cet épisode.

 

Voici justement la suite !

 

Et voici le nouveau questionnaire amélioré ! (L’ancien questionnaire est ici, pour ceux qui veulent consulter les résultats.)

 

Enjoy !

 

Petite remarque supplémentaire : il serait intéressant déjà d’ajouter l’idée de consentement. Disons que vous savez que le patient 0 de se sacrifier. (Par exemple parce qu’il est membre de l’AEVACSVBAFPD, l’Association des Égoïstes qui ne Veulent en Aucun Cas Sacrifier leur Vie pour le Bien d’Autrui, Faut Pas Déconner. Ou parce que vous pouvez le lire dans son cerveau. Peu importe la raison : l’important c’est que maintenant vous êtes certain qu’il ne consent pas au sacrifice que vous allez le forcer à faire.)

Cela change-t-il les choses dans vos réponses ?

Je préfère imaginer des situations où vous n’avez aucun moyen de savoir si le patient 0 consent ou non à ce qu’on lui fait, sans quoi j’ai l’impression que cela permet assez facilement d’éviter de porter un jugement moral sur la situation, de vous « laver les mains ». Vous serez tenté de vous dire assez vite : « Ce n’est pas à moi de prendre la décision, c’est au patient 0 ; il refuse de se sacrifier, donc c’est lui, pas moi, qui condamne les patients 1 à 5. » C’est confortable.

Ceci dit, choisir de tenir compte du non-consentement du patient 0 est un choix moral en lui-même ; on ne le fera pas systématiquement ; en particulier, je pense que peu d’entre vous le feraient pour les premières versions du scénario…

 

 

Pour finir (provisoirement), voici quelques extraits de notre podcast Axiome où Lê et moi revenons sur ces expériences de pensée :

 

 

Voilà !

 

 

À quoi bon échanger ? Avantages comparatifs & coûts d’opportunité – Argument frappant #5

Aujourd’hui on parle d’un des arguments les plus frappants de l’histoire de la pensée économique : la théorie des avantages comparatifs. Mais comme je ne veux pas vraiment vous faire un cours d’économie, je ne vais pas la jouer à la Ricardo en parlant de commerce de draps et de vins entre le Portugal et l’Angleterre, mais plus simplement d’échanges entre individus, et au fond c’est tout aussi intéressant et ça me paraît même plus frappant encore à ce niveau ! Notez que je ne présente pas ces concepts d’avantages comparatif et de coût d’opportunité de façon rigoureuse mais j’espère que ça vous donnera envie d’aller voir plus loin car l’économie, tout de même, c’est passionnant !

 

Pour aller plus loin, justement :

Une vidéo en français qui présente la théorie des avantages comparatifs à partir de l’exemple classique de Ricardo : « Dessine-moi l’éco : Qu’est-ce que l’avantage comparatif ? »

Une vidéo d’introduction sur l’économie où il est question, entre autre, des avantages comparatifs (en anglais, sous-titres français disponibles) : « Specialization and Trade: Crash Course Economics #2 »

Une vidéo sur les avantages comparatifs et les coûts d’opportunité (en anglais, sous-titres français disponibles) : « Comparative Advantage » (Marginal Revolution University)

 

Allez voir les super chaînes francophone de vulgarisation sur l’économie :

Stupid Economics pour plein de sujets cools traités de façon cool sur l’économie en général !

Heu?reka sur l’économie en général et la finance en particulier, avec des explications souvent assez détaillée !

Voilà !

 

 

Le paradoxe du condamné à mort — Argument frappant #4

Première partie – Présentation

 

Les vidéos d’e-penser sur le paradoxe :
(1) L’énoncé du problème : https://youtu.be/-cp7e9OK-28
(2) La solution proposée : https://youtu.be/Gjx32XYp2j4

Une autre variante, juste pour le plaisir. Vous savez que les règles de politesse vous interdisent de manger le dernier petit four du plateau. Mais ne vous êtes-vous jamais dit que celui qui mange l’AVANT-DERNIER petit four était presque aussi impoli en ceci qu’il mange le dernier petit four que l’on peut manger sans impolitesse ? En un sens, si tout le monde est poli, l’avant-dernier petit four devient virtuellement le dernier petit four. Mais que se passerait-il si l’on ajoutait la règle de politesse suivante : « Il est interdit de manger le dernier petit four que les règles de politesse permettent de manger » ? Je vous laisse le soin de prouver à partir de cette règle qu’il n’est permis de manger AUCUN petit four…

Si vous voulez en lire davantage sur le sujet, l’article wikipedia anglais est très bien (son équivalent français l’est moins) et l’on y trouve une bibliographie commentée : « https://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox »

 

 

Deuxième partie – Analyse

 

Une précision concernant la remarque à 0:44. « Ex falso sequitur quodlibet » signifie : « Du faux, on peut déduire ce que l’on veut ». Ainsi, d’une contradiction (toujours fausse) on peut déduire n’importe quoi. C’est ce qu’on appelle aussi le principe d’explosion (et il est valide dans les systèmes de logique classique). Ainsi, mes règles du jeu étant contradictoire, ce n’est pas vrai à strictement parler que je ne peux rien en déduire : je peux en déduire que la carte est un joker, mais aussi qu’elle n’en est pas un, et que 2 + 2 = 5 ; je peux TOUT en déduire. Donc évidemment il faudrait préciser le sens de « déduire » dans nos règles de façon à exclure ce genre de déduction bizarre. (On pourrait dire qu’on parle de déduction « pertinente », c’est-à-dire qui ne ferait en aucune façon usage d’un tel principe d’explosion.)

 

 

La loi de Bayes — Argument frappant #3

Premier épisode

 

Pour en savoir plus sur la loi de Bayes, il y a énormément de ressources sur Internet et ça peut être difficile de s’y retrouver, donc en voici deux que je trouve particulièrement bonnes et accessibles :

– En anglais, ce site est très bien et complet : https://arbital.com/p/bayes_rule/?l=1zq
– En français, il y a ces très bons articles du blog de Science étonnante de David Louapre : https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/10/08/les-probabilites-conditionnelles-bayes-level-1/

 

Second épisode

 

Quelques explications supplémentaires concernant la formule présentée à la fin de la vidéo pour calculer rapidement une approximation de P(A|B) (probabilité de A sachant B) dans le cas où B est une preuve de A, et où la probabilité a priori de A est faible et nettement plus faible que la probabilité de faux positif. Dans ce cas-là, on a P(A|B) à peu près égal à P(A)/P(B|-A) (c’est-à-dire la probabilité a priori de A divisée par la probabilité de faux positif. Notez que « -A » signifie que A ne se réalise pas, ce qu’on écrit normalement avec un trait au-dessus de A. Désolé, ce n’est pas très pratique d’écrire des formules ici…)

Partons de la formulation complète du théorème de Bayes : P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)

B se présente comme une preuve de A. Cela signifie que P(B|A) (probabilité de B sachant A) doit être très élevée, c’est-à-dire presque égale à 1 (sinon on verrait mal en quoi B est une preuve de A). Donc, si P(B|A) est à peu près égale à 1, ça signifie que P(B|A)P(A) est presque égal à P(A). Cela permet d’avoir déjà l’approximation suivante : P(A|B) est à peu près égal à P(A)/P(B). C’est déjà plus simple…

Mais comment connaître P(B) ? En fait, on ne connaît jamais directement P(B) ; il faut le calculer de la façon suivante : P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|-A)P(-A).

Là encore, étant donné que P(B|A) est presque égal à 1, du coup P(B|A)P(A) est à peu près égal à P(A), et donc P(B) est à peu près égal à P(A) + P(B|-A)P(-A).

Maintenant, supposons que P(A) est faible et beaucoup plus faible que P(B|-A). Cela aura pour conséquence que P(A) + P(B|-A)P(-A) est à peu près égal à P(B|-A). (J’avoue que j’ai un peu la flemme d’expliquer en détail pourquoi mais ceux qui ont suivi le raisonnement jusque là ne devraient pas avoir trop de mal à voir. En gros, P(A) va être négligeable par rapport à P(B|-A)P(-A), et P(B|-A)P(-A) sera à peu près égal à P(B|-A).)

Du coup, en effet, sous l’hypothèse que P(B|A) est presque égal à 1 (ce qui est sous-entendu par l’idée que B est une preuve de A) et sous l’hypothèse que P(A) est faible et nettement plus faible que P(B|-A), alors P(A|B) est à peu près égal à P(A)/P(B|-A), c’est-à-dire que la probabilité de A sachant B est à peu près égale à la probabilité a priori de A divisée par la probabilité de faux positif (entendue comme la probabilité que B soit tout de même vrai au cas où A est faux).

Si par exemple vous estimez a priori que A a 1% de chance de se produire et qu’on vous apporte une information B censée prouver A, et que cette information est telle que vous estimez que si A est faux il y a encore 20% de chance pour que B soit vraie (donc probabilité de faux positif = 20%), alors vous pouvez estimez que la probabilité de A sachant cette nouvelle information B est à peu près égale à 1% divisé par 20%, c’est-à-dire multiplié par 5, soit 5%, ce qui reste très peu… (Et notez que l’estimation a généralement tendance à être trop haute.)

Voilà voilà… Avec cette petite méthode en tête, vous éviterez de tomber dans beaucoup de pièges bayesiens !

Le droit à l’avortement : l’argument du violoniste de Judith Jarvis Thomson — Argument frappant #2

 

Aujourd’hui on voit pourquoi le droit à l’avortement est un sujet complexe…

« A defense of abortion » de Judith Jarvis Thomson : http://spot.colorado.edu/~heathwoo/Phil160,Fall02/thomson.htm
Une traduction française : http://www.cairn.info/revue-raisons-politiques-2003-4-page-3.htm

Pour aller plus loin sur le sujet, ce livre de David Boonin est très complet : https://ethicslab.georgetown.edu/phil553/wordpress/wp-content/uploads/2015/01/David-Boonin-A-Defense-of-Abortion.pdf