[Edit 27 décembre] Voici enfin mon épisode consacré au paradoxe de Lewis Carroll ! (Pour éviter les doublons, je l’ajoute en modifiant ce billet qui présentait la traduction du texte.)
En 1895, dans la revue Mind, paraissait un bref dialogue de Lewis Carroll intitulé « What The Tortoise Said to Achilles » ; sous ses airs fantaisistes, il contient une réflexion très profonde sur les fondements de la logique, et je compte bien en parler dans le dernier épisode de ma série sur la démonstration et la connaissance.
Or il se trouve qu’il n’existe pas beaucoup de traductions de ce dialogue en français ; comme c’est très court et que traduire Lewis Carroll est forcément amusant, je me suis livré à l’exercice. Cela vous donne un avant goût du prochain épisode !
(La situation de départ du dialogue fait référence à l’un des paradoxes de Zénon ; mais le paradoxe qu’esquisse Lewis Carroll dans ce dialogue n’est pas du tout de même ordre. Le dialogue fait aussi fait allusion à la première proposition démontrée dans les Eléments d’Euclide : il s’agit de la construction d’un triangle équilatéral ABC à partir d’un segment AB. Mais peu importe : Lewis prend cet exemple avant tout en tant que démonstration la plus simple et élémentaire possible.)
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Ce que la Tortue dit à Achille
Achille avait rattrapé la Tortue et s’était assis bien à son aise sur son dos.
« Tu es donc arrivé au bout de notre course-poursuite », dit la Tortue. « Alors même qu’elle consiste bien en une série infinie de distances. Je pensais qu’un certain grand sage avait prouvé qu’une telle chose ne pouvait pas se faire. »
« Elle peut se faire », dit Achille. « Elle vient de se faire ! Solvitur ambulando*. Vois-tu, les distances diminuaient constamment, et donc… »
« Mais si elles avaient constamment augmenté ? » coupa la Tortue. « Qu’en serait-il ? »
« Alors je ne devrais pas être ici », répliqua modestement Achille. « Et toi, à cette heure, tu aurais fait plusieurs fois le tour du monde. »
« Flatteur, tu t’aplatis – ou plutôt m’aplatis », dit la Tortue, « car tu es un poids lourd, sans l’ombre d’un doute ! Bien, maintenant, te plairait-il que je te raconte une autre course-poursuite, dont la plupart des gens s’imaginent pouvoir arriver au bout en deux ou trois étapes, alors qu’elle consiste réellement en un nombre infini de distances, chacune plus longue que la précédente ? »
« Voilà qui me plairait beaucoup ! » dit le guerrier Grec en tirant de son casque (rares étaient les guerriers Grecs à disposer de poches à cette époque) un énorme cahier et un crayon. « Allons-y ! Et parle lentement, s’il te plaît ! La sténographie n’est pas encore inventée ! »
« Cette belle Première Proposition d’Euclide ! » murmura la Tortue avec un air rêveur. « Admires-tu Euclide ? »
« Passionnément ! Pour autant, tout au moins, que l’on puisse admirer un traité qui ne sera pas publié avant quelques centaines d’années. »
« Bien, maintenant, considérons un petit bout de l’argument dans cette Première Proposition – juste deux étapes, et la conclusion qui en est tirée. Aurais-tu l’amabilité de les inscrire dans ton cahier ? Et afin de s’y référer plus aisément, appelons-les A, B, et Z :
- (A) Des choses égales à une même chose sont égales entre elles.
- (B) Les deux côtés de ce triangle sont des choses égales à une même chose.
- (Z) Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux.
Les lecteurs d’Euclide admettront, je suppose, que Z est une conséquence logique de A et B, de sorte que quiconque accepte A et B comme vrais doit accepter Z comme vrai. »
« Sans aucun doute ! Le plus jeune collégien – dès que les collèges auront été inventés, ce qui n’arrivera pas avant quelques millénaires – admettra cela. »
« Et si quelque lecteur n’avait pas encore accepté A et B comme vrais, il pourrait cependant accepter l’enchaînement comme valide, je suppose. »
« Sans doute un tel lecteur pourrait exister. Il pourrait dire : « J’accepte comme vrai la proposition hypothétique suivante : si A et B sont vrais, Z doit être vrai ; mais je n’accepte pas A et B comme vrais. » Pour un tel lecteur, il serait sage de renoncer à Euclide et de se mettre au football. »
« Ne se pourrait-il pas aussi qu’un certain lecteur dise : « J’accepte A et B comme vrais, mais je n’accepte pas la formule hypothétique » ? »
« Certainement, cela se pourrait. Et un tel lecteur, aussi, ferait mieux de se mettre au football. »
« Et ni l’un ni l’autre de ces lecteurs », poursuivit la Tortue, « n’est jusqu’ici contraint, par quelque nécessité logique que ce soit, à accepter Z comme vrai ? »
« En effet, admit Achille.
« Bien, maintenant, je veux que tu me considères moi comme un lecteur de ce second genre, et que tu me forces, logiquement, à accepter Z comme vrai. »
« Une tortue qui jouerait au football, ce serait… » commença Achille
« … Une hérésie, à n’en pas douter ! » interrompit vivement la Tortue. « Ne détourne pas la conversation. Occupons-nous de Z d’abord, de football ensuite. »
« Je dois te forcer à accepter Z, c’est cela ? » dit Achille, songeur. « Et ta position actuelle est que tu acceptes A et B, mais que tu n’acceptes pas la formule hypothétique… »
« Appelons-la C », dit la Tortue.
« Mais tu n’acceptes pas :
- (C) Si A et B sont vrais, Z doit être vrai. »
« C’est ma position actuelle », dit la Tortue.
« Dans ce cas, je dois te demander d’accepter C. »
« Je l’accepterai », dit la Tortue, « dès que tu l’auras inscrit dans ton cahier. D’ailleurs, que contient-il d’autre ? »
« Juste quelques compte-rendus », dit Achille, compulsant nerveusement les pages : « quelques compte-rendus de… des batailles dans lesquelles je me suis distingué ! »
« Beaucoup de pages blanches, je vois ! » fit remarquer la Tortue avec entrain. « Nous aurons besoin de toutes ! » (Achille frissonna.) « Maintenant, écris ce que je te dicte :
- (A) Des choses égales à une même chose sont égales entre elles.
- (B) Les deux côtés de ce triangle sont des choses égales à une même chose.
- (C) Si A et B sont vrais, Z doit être vrai.
- (Z) Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux. »
« Tu devrais l’appeler D, pas Z », dit Achille. « Cela vient juste après les trois autres. Si tu acceptes A et B et C, tu dois accepter Z. »
« Et pourquoi le dois-je ? »
« Parce que c’en est une conséquence logique. Si A et B et C sont vrais, Z doit être vrai. Tu ne contestes quand même pas cela, j’imagine ? »
« Si A et B et C sont vrais, Z doit être vrai », répéta pensivement la Tortue. « N’est-ce pas là une autre formule hypothétique ? Et, si j’échouais à reconnaître sa vérité, je pourrais bien accepter A et B et C, sans pour autant accepter Z, n’est-ce pas ? »
« Cela se pourrait », reconnut le franc héros. Mais un esprit obtus à ce point serait vraiment phénoménal. Pour autant, un tel cas est possible. Je dois donc te demander d’admettre encore une formule hypothétique de plus. »
« Très bien. Je suis tout à fait prêt à l’accepter, dès lors que tu l’auras couchée sur le papier. Nous l’appellerons :
- (D) Si A et B et C sont vrais, Z doit être vrai.
As-tu bien inscrit cela dans ton cahier ? »
« C’est fait ! » s’exclama joyeusement Achille tout en rangeant son crayon dans sa trousse. « Et enfin nous sommes arrivés au bout de cette course-poursuite théorique. Maintenant que tu acceptes A et B et C et D, il va de soi que tu acceptes Z. »
« L’accepté-je ? » dit la Tortue avec innocence. « Rendons cela tout à fait clair. J’accepte A et B et C et D. Suppose que, pour autant, je refuse d’accepter Z. »
« Alors la Logique te sauterait à la gorge et te forcerait à le faire ! » répliqua triomphalement Achille. « La Logique te dirait « Tu ne peux plus y échapper. Maintenant que tu as accepté A et B et C et D, tu dois accepter Z » Donc tu n’as plus le choix, vois-tu. »
« Si la Logique est assez bonne pour me dire quelque chose, cela mérite d’être couché sur le papier », dit la Tortue. « Donc inscris-le dans ton carnet, s’il te plaît. Nous l’appellerons :
- (E) Si A et B et C et D sont vrais, Z doit être vrai.
Tant que je n’ai pas admis cela, il va de soi que je n’ai pas besoin d’admettre Z. C’est donc une étape tout à fait nécessaire, vois-tu ? »
« Je vois », dit Achille ; et il y avait une note de tristesse dans sa voix.
Ici le narrateur, ayant une affaire urgente à régler à la banque, fut forcé de quitter ces deux joyeux drilles, et n’eut l’occasion de repasser par ce lieu que quelques mois plus tard. Achille était toujours assis sur le dos de l’infatigable Tortue, et écrivait dans son cahier, qui semblait presque rempli. La Tortue disait : « As-tu bien inscrit cette dernière étape ? Si je n’ai pas perdu le compte, ce sera la mille et unième. Il y en a des millions encore à venir. Et voudrais-tu bien, à titre de faveur personnelle, eu égard aux nombreux enseignements que les logiciens du dix-neuvième siècle tireront de notre entretien – voudrais-tu bien adopter un bon mot que pourrait faire un jour ma cousine la Fausse-Tortue, et te laisser appeler (toi qui raisonnes de travers) : Achille le tortu ? »
« Comme il te plaira » répliqua le guerrier sans force, dont la voix creuse trahissait le désespoir, ensevelissant son visage dans ses mains. « Pourvu que toi, en retour, tu adoptes un bon mot que la Fausse-Tortue n’a jamais fait, et te laisses appeler (toi qui raisonnes si bien) : Agile, la Tortue !** »
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Traduction : Thibaut Giraud
* : Solvitur ambulando = résolu en marchant, en latin. On rapporte que c’est ce que Diogène de Sinope aurait répondu (en Grec, du coup) à Zénon présentant ses paradoxes sur l’impossibilité du mouvement, se levant et sortant pour prouver le contraire. La locution latine est utilisée en référence à cela pour évoquer un problème théorique résolu par une expérience pratique.
** : Toute cette fin du dialogue est très librement traduite dans la mesure où le texte anglais repose sur deux jeux de mot intraduisibles : d’abord ‘Tortoise’ et ‘Taught us’ – en référence à un passage d’Alice au pays des merveilles, mettant en scène le personnage de la Fausse-Tortue (Mock-Turtle) qui utilise ce même jeu de mot ; et ensuite ‘Achilles’ et ‘A Kill-Ease’.
En revanche, il n’était pas possible de douter de sa propre existence, car s’il n’existait pas, aucun malin génie ne pouvait le leurrer. Pour douter, il est nécessaire qu’il existe ; s’il pouvait faire l’expérience de quoi que ce soit, c’est bien qu’il existait. Son expérience personnelle était donc pour lui une certitude absolue. « Je pense donc je suis », affirma Descartes (cogito, ergo sum), et sur la base de cette certitude, il se mit à l’œuvre pour reconstruire l’univers de la connaissance que son doute méthodique avait détruit. En inventant cette méthode du doute raisonné, et en déterminant que les choses les plus certaines sont d’ordre subjective, Descartes a rendu un grand service à la philosophie, à tel point que ses enseignements peuvent encore aujourd’hui guider les philosophes contemporains.
« Le principe moral que dire la vérité est un devoir, s’il était pris de manière absolue et isolée, rendrait toute société impossible. Nous en avons la preuve dans les conséquences directes qu’à tirées de ce dernier principe un philosophe Allemand qui va jusqu’à prétendre qu’envers des assassins qui vous demanderaient si votre ami qu’ils poursuivent n’est pas réfugié dans votre maison, le mensonge serait un crime (…).
« Avez-vous arrêté par un mensonge quelqu’un qui méditait alors un meurtre, vous êtes juridiquement responsable de toutes les conséquences qui pourront en résulter ; mais êtes-vous resté dans la stricte vérité, la justice publique ne saurait s’en prendre à vous, quelles que puissent être les conséquences imprévues qui en résultent. Il est possible qu’après que vous avez loyalement répondu oui au meurtrier qui vous demandait si son ennemi était dans la maison, celui-ci en sorte inaperçu et échappe ainsi aux mains de l’assassin, de telle sorte que le crime n’ait pas lieu ; mais, si vous avez menti en disant qu’il n’était pas à la maison et qu’étant réellement sorti (à votre insu) il soit rencontré par le meurtrier, qui commette son crime sur lui, alors vous pouvez être justement accusé d’avoir causé sa mort. En effet, si vous aviez dit la vérité, comme vous la saviez, peut-être le meurtrier, en cherchant son ennemi dans la maison, eût-il été saisi par des voisins accourus à temps, et le crime n’aurait-il pas eu lieu. Celui donc qui ment, quelque généreuse que puisse être son intention, doit, même devant le tribunal civil, encourir la responsabilité de son mensonge et porter la peine des conséquences, si imprévues qu’elles puissent être. C’est que la véracité est un devoir qui doit être regardé comme la base de tous les devoirs fondés sur un contrat, et que, si l’on admet la moindre exception dans la loi de ces devoirs, on la rend chancelante et inutile.
On présente souvent ces quatre types de prédication sous la forme d’une table comme celle-ci. Dans les quatre coins on peut lire : « Tout homme est blanc », « Nul homme n’est blanc », « Quelque homme est blanc », « Quelque homme n’est pas blanc ». Les traits symbolisent différentes relations entre ces différents types de phrases. Notamment, les diagonales forment une contradiction : l’universelle affirmative est en contradiction avec la particulière négative ; et l’universelle négative est en contradiction avec la particulière positive. En contradiction implique qu’une seule des deux propositions est vraie. Les deux universelles sont contraires : elles ne peuvent pas être vraies en même temps mais peuvent être fausses en même temps. Les deux particulières sont sub-contraires : elles peuvent être vraies en même temps, mais pas fausses en même temps. Enfin, chaque particulière est subalterne vis-à-vis de son universelle : si l’universelle est vraie, la particulière doit l’être aussi (mais pas réciproquement).
arfaits.
« Que la logique ait suivi [la voie sûre de la science] déjà depuis les temps les plus anciens, le fait que, depuis Aristote, elle n’a été obligée de faire aucun pas en arrière, suffit à le montrer : je suppose en effet que l’on ne voudra pas lui compter pour des améliorations la mise au rancart de quelques subtilités superflues ou une détermination plus claire de son exposé, choses qui touchent plutôt à l’élégance qu’à la certitude de la science. Ce qu’il faut encore admirer en elle, c’est que, jusqu’à présent, elle n’a pu faire, non plus, aucun pas en avant et que, par conséquent, selon toute apparence, elle semble close et achevée. »
De fait, les déontologistes ne s’accordent guère sur le contenu du devoir ; l’exemple le plus fameux est sans doute celui du mensonge. Pour Kant, nous avons toujours le devoir de dire la vérité, en particulier même si ceux qui nous la demandent ont l’intention de s’en servir pour nuire à autrui, comme par exemple des assassins qui demanderaient où se trouve l’ami que vous savez caché chez vous (c’est l’exemple que Kant donne lui-même) ; évidemment, à peu près personne après Kant ne soutiendra une telle chose. Un déontologiste peut faire valoir par exemple que nous n’avons le devoir de dire la vérité qu’à ceux qui y ont droit, et qu’assurément celui qui demande la vérité pour nuire à autrui n’y a pas droit. (C’était la solution que proposait Benjamin Constant ; Kant, visiblement agacé du reproche qu’on faisait à sa théorie, y a répondu dans un opuscule acrimonieux intitulé D’un prétendu droit de mentir par humanité, où il persiste et signe : « La véracité dans les déclarations que l’on ne peut éviter est le devoir formel de l’homme envers chacun, quelque grave inconvénient qu’il en puisse résulter pour lui ou pour un autre ».)
« Je ne puis m’empêcher d’ajouter à ces raisonnements une observation qu’on trouvera peut-être de quelque importance. Dans tous les systèmes de moralité que j’ai rencontrés jusqu’ici, j’ai toujours remarqué que l’auteur procède quelque temps de la manière ordinaire de raisonner, et établit l’existence d’un Dieu, ou fait des observations, concernant les affaires humaines ; quand soudain je suis étonné de
Par exemple, si je dis : voilà une bonne chaise, cela signifie que cette chaise sert à certaine fin prédéterminée, et le mot « bon » que nous employons ici n’a de signification que dans la mesure où cette fin est déjà préétablie. En fait, le mot « bon » dans le sens relatif signifie tout simplement : qui satisfait à un certain modèle prédéterminé. Ainsi quand nous disons de quelqu’un qu’il est un bon pianiste, nous entendons par là qu’il peut jouer de la musique d’un certain degré de difficulté avec un certain degré de dextérité. Et, similairement, si je dis qu’il est important pour moi de ne pas m’enrhumer, j’entend par là que le rhume produit dans ma vie certain dérangements qu’il est possible de décrire ; et si je dis que c’est là la bonne route, j’entends par là que c’est la bonne route pour atteindre un certain but. Employées de cette façon, ces expressions ne suscitent pas de difficultés ni de problèmes graves.
Aussi me faut-il dire que si je m’arrête à considérer ce que l’éthique devrait être réellement, à supposer qu’une telle science existe, le résultat me semble tout à fait évident. Il me semble évident que rien de ce que nous pourrions jamais penser ou dire ne pourrait être cette chose, l’éthique ; que nous ne pouvons pas écrire un livre scientifique qui traiterait d’un sujet intrinsèquement sublime et d’un niveau supérieur à tous autres sujets. Je ne puis décrire mon sentiment à ce propos que par cette métaphore : si un homme pouvait écrire un livre sur l’éthique qui fût réellement un livre sur l’éthique, ce livre, comme une explosion, anéantirait tous les autres livres de ce monde. Nos mots, tels que nous les employons en science, sont des vaisseaux qui ne sont capables que de contenir et de transmettre signification et sens — signification et sens naturels. L’éthique, si elle existe, est surnaturelle, alors que nos mots ne veulent exprimer que des faits ; comme une tasse à thé qui ne contiendra jamais d’eau que la valeur d’une tasse, quand bien même j’y verserais un litre d’eau.
« Au cours d’une excursion entreprise à travers les morales délicates ou grossières qui ont régné dans le monde ou qui y règnent encore, j’ai trouvé certains traits qui reviennent régulièrement en même temps et qui sont liés les uns aux autres : tant qu’à la fin j’ai deviné deux types fondamentaux, d’où se dégageait une distinction fondamentale. Il y a une
Le sentiment de la noblesse et de la distance, je le répète, le sentiment premier et global, durable et prédominant, d’un habitus supérieur et impérieux face à un habitus inférieur, à un ‘‘contrebas’’, – voilà l’origine de l’antithèse ‘‘bon’’ et ‘‘mauvais’’.
« Lorsque ce sont les dominants qui déterminent le concept ‘‘bon’’, les états d’âmes sublimes et altiers sont considérés comme ce qui distingue et détermine le rang. L’homme noble se sépare des êtres en qui s’exprime le contraire de ces états sublimes et altiers ; il méprise ces êtres. Il faut remarquer de suite que, dans cette première espèce de morale, l’antithèse ‘‘bon’’ et ‘‘mauvais’’ équivaut à celle de ‘‘noble’’ et ‘‘méprisable’’. (…)
(Notons encore que cette exaltation romaine de la force n’est sans doute pas étrangère au fait que Nietzsche fait de Rome l’incarnation la plus haute de la morale aristocratique : « Les Romains étaient bien les forts et les nobles, tels qu’il n’y en jamais eu jusqu’ici sur terre, et tels même qu’il ne pourra jamais y en avoir de plus forts et de plus nobles. » GM §16)
« Il faut dire que toute vertu, selon la qualité dont elle est la perfection, est ce qui produit cette perfection et fournit le mieux le résultat attendu. Par exemple la vertu de l’œil exerce l’œil et lui fait remplir sa fonction d’une façon satisfaisante ; c’est par la vertu de l’œil que nous voyons distinctement. De même la vertu du cheval fait de lui un bon cheval apte à la course, à recevoir le cavalier et capable de supporter le choc de l’ennemi. »
Qu’est-ce que cela implique quant à ce qui s’oppose à la vertu, c’est-à-dire le vice ? Si la vertu est la bonne réalisation de la fonction, le vice est un dysfonctionnement, une défectuosité. L’homme vicieux est celui qui réalise mal sa fonction d’homme, c’est un homme raté, déréglé, qui ne fait pas ce qui convient à sa nature, qui n’est pas à sa place. Songez que la faute par excellence pour les Grecs est l’hubris, c’est-à-dire la démesure : mal agir, c’est sortir de sa place d’homme, agir comme un dieu. La maxime delphique « Souviens-toi qui tu es » peut s’entendre en ce sens : souviens-toi que tu es un homme, ni plus ni moins, et donc ne sors pas de ce rôle d’homme.
Monsieur Phi 