Voici le début d’une série sur la démonstration, l’argumentation plus généralement, et leur rapport à la connaissance.

Premier épisode – Comment démontrer n’importe quoi

 

 

 

Petite remarque supplémentaire. J’ai dit que la valeur d’un argument repose sur deux critères : d’une part que les prémisses soit reconnues comme vraies ou au moins probables, et d’autre part qu’un lien assez fort soit reconnu entre les prémisses et la conclusion. Et donc la critique d’un argument ne peut passer que par la critique d’au moins l’un de ces deux points : rejeter l’une des prémisses, ou nier que la conclusion suive des prémisses (ou les deux, histoire d’enfoncer le clou). C’est tout ce que l’on peut faire pour critiquer un argument.

En particulier, il ne faut pas confondre le fait de critiquer un argument (c’est-à-dire d’affaiblir ses prémisses ou le lien entre les prémisses et la conclusion) et celui de présenter un contre-argument, c’est-à-dire un argument qui aboutit à une conclusion opposée. Pour examiner un argument et déterminer sa valeur, on se fiche de savoir à quels contre-arguments il s’oppose.

 

Un peu plus sur la syllogistique d’Aristote

Différentes formes de prédication

Aristote n’étudie que des phrases dont la forme de base est l’attribution d’un prédicat P à un sujet S : « S est P ». Par exemple : « Socrate est mortel ». Socrate est le sujet, mortel le prédicat. (C’est en soi une limite très importante de sa logique : elle ne permet pas de traiter des relations.)

Deux opérations peuvent modifier cette forme de base :

(1) La négation : « est P » peut devenir « n’est pas P ».

(2) La quantification : on peut parler de « Tous les S » ou seulement de « Quelque S »

En combinant les deux opérations, on obtient 4 types de phrases :

(i) universelle affirmative : Tout A est B
(ii) universelle négative : Aucun A n’est B
(iii) particulière affirmative : Quelque A est B (ou : Au moins un A est B)
(iv) particulière négative : Quelque A n’est pas B (ou : Au moins un A n’est pas B)

On présente souvent ces quatre types de prédication sous la forme d’une table comme celle-ci. Dans les quatre coins on peut lire : « Tout homme est blanc »,  « Nul homme n’est blanc », « Quelque homme est blanc », « Quelque homme n’est pas blanc ». Les traits symbolisent différentes relations entre ces différents types de phrases. Notamment, les diagonales forment une contradiction : l’universelle affirmative est en contradiction avec la particulière négative ; et l’universelle négative est en contradiction avec la particulière positive. En contradiction implique qu’une seule des deux propositions est vraie. Les deux universelles sont contraires : elles ne peuvent pas être vraies en même temps mais peuvent être fausses en même temps. Les deux particulières sont sub-contraires : elles peuvent être vraies en même temps, mais pas fausses en même temps. Enfin, chaque particulière est subalterne vis-à-vis de son universelle : si l’universelle est vraie, la particulière doit l’être aussi (mais pas réciproquement).

Remarquez que le cas de « Socrate est mortel » est en fait compris comme un type de phrase universelle, comme si l’on disait « Tous les Socrates sont mortel ». (On peut dire que la logique d’Aristote traite tous les termes comme des termes de classes ; le terme Socrate renvoie donc à la classe dont l’unique membre est Socrate, et dire qu’il est mortel, c’est dire que la classe des Socrates est incluse dans la classe des mortels.)

 

Définition du syllogisme

Le syllogisme est un raisonnement formé par deux prémisses et une conclusion.

La première prémisse, appelée majeure, est une phrase universelle (affirmative ou négative).

La seconde prémisse, appelée mineure, peut être de n’importe quelle forme, mais elle doit avoir un terme commun avec la majeure. Ce terme est appelé le moyen.

Enfin la conclusion peut être de n’importe quelle forme mais elle doit lier deux termes présents dans les deux prémisses, à l’exception du moyen. (Le moyen n’apparaît pas dans la conclusion.

Exemple 1

MAJEURE : Aucun A n’est B

MINEURE : Quelque A est C

CONCLUSION : Quelque C n’est pas B

La majeure est une prédication universelle (négative) ; la mineure a bien un terme commun avec la majeure : A est le moyen ; et la conclusion reprend les deux autres termes B et C. C’est donc bien un syllogisme, et il se trouve qu’il est valide !

Mais notez bien que rien n’implique dans la définition du syllogisme que celui-ci soit valide. Ainsi ce qui suit aussi est un syllogisme :

Exemple 2

MAJEURE : Tout A est B

MINEURE : Tout B est C

CONCLUSION : Quelque A n’est pas C

Je vous laisse constater que la définition est bien respectée, mais vous verrez sans doute sans difficulté que l’argument n’est pas valide.

On peut généraliser la forme des syllogismes en notant les termes ainsi : M est le moyen, et S et P sont respectivement les termes en position de sujet et prédicat dans la conclusion. (Vous pouvez facilement voir pourquoi tout terme du syllogisme est dans l’un de ces trois cas.) Ainsi les deux syllogismes précédents peuvent être représentés ainsi :

Exemple 1

MAJEURE : Aucun M n’est P

MINEURE : Quelque M est S

CONCLUSION : Quelque S n’est pas P

et :

Exemple 2 :

MAJEURE : Tout S est M

MINEURE : Tout M est P

CONCLUSION : Quelque S n’est pas P

Toutes les façons d’assembler ainsi les termes S, P et M pour former un syllogisme (en faisant varier leurs positions et la forme universelle/particulière et affirmative/négative des phrases) sont au nombre de 256. Il y a 256 formes de syllogismes distincts !

 

Distinguer les syllogismes valides et les syllogismes invalides

Comme je l’ai fait remarquer, tout syllogisme n’est pas valide. La syllogistique va donc consister à dégager quels sont les syllogismes valides et à montrer pourquoi les autres ne le sont pas valides.

Il y a quatre syllogismes valides dont Aristote ne justifie pas la validité autrement que par l’évidence. Ce sont les syllogismes qu’il appelle parfaits comme par exemple :

Syllogisme parfait « Barbara »

MAJEURE : Tout M est P

MINEURE : Tout S est M

CONCLUSION : Tout S est P

Pour les autres formes de syllogismes valides, ceux qu’Aristote appelle donc imparfaits, Aristote justifie leur validité en montrant comment on peut les transformer (en usant de règles d’équivalences entre phrases, en gros) en syllogismes parfaits.

Je ne vais pas détailler la méthode, mais observez ceci : on pourrait dire qu’Aristote pose comme règles d’inférence quatre syllogismes parfaits ainsi qu’un petit nombre de règles de transformation, et à partir de cela il obtient l’ensemble de tous les syllogismes valides. C’est une démarche assez propre du point de vue logique. (En tout cas ça me plaît !)

Cette méthode permet bien d’identifier 24 formes de syllogismes valides.

Il reste à montrer que les 232 autres modes ne sont pas valides ! La méthode d’Aristote pour le montrer est assez simple : si une forme de syllogisme n’est pas valide, il doit être possible de remplacer les termes de façon à obtenir un syllogisme de cette forme dont les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Ainsi :

Exemple 2 (non valide)

MAJEURE : Tout S est M  –>  Tout homme est un mammifère

MINEURE : Tout M est P  –>  Tout mammifère est mortel

CONCLUSION : Quelque S n’est pas P  –>  Quelque homme n’est pas mortel

Avec cette substitution, les prémisses sont vraies mais la conclusion fausse. Cela montre que cette forme de raisonnement n’est pas valide.

En somme, pour montrer qu’une forme de syllogisme n’est pas valide, il suffit de donner un contre-exemple. Et puisqu’il y a un nombre fini de formes de syllogismes, on pourra faire de même pour tous les syllogismes non-valides.

Ainsi on aura prouvé que les 24 formes de syllogisme valides sont bien tous les syllogismes valides.

L’influence d’Aristote

La syllogistique d’Aristote représente un effort remarquable de systématisation d’un ensemble de formes de raisonnement valides. De ce point de vue, Aristote peut être regardé comme le premier logicien (et il est le premier en beaucoup de choses, ce qui veut dire qu’il s’est souvent trompé, mais il faut avoir suffisamment de sens historique pour comprendre la rationalité de ses erreurs !) ; son influence, à partir du Moyen-Âge, sera énorme et il faudra attendre la fin du XIXe siècle avant que des progrès significatifs en logique soient réalisés (avec Boole, Frege, Russell…) et que l’on ouvre la réflexion au-delà de la logique aristotélicienne. Pendant longtemps, ce dépassement passait pour absolument impensable tant la logique d’Aristote paraissait complète et parfaite. Ainsi Kant écrivait en 1787 :

« Que la logique ait suivi [la voie sûre de la science] déjà depuis les temps les plus anciens, le fait que, depuis Aristote, elle n’a été obligée de faire aucun pas en arrière, suffit à le montrer : je suppose en effet que l’on ne voudra pas lui compter pour des améliorations la mise au rancart de quelques subtilités superflues ou une détermination plus claire de son exposé, choses qui touchent plutôt à l’élégance qu’à la certitude de la science. Ce qu’il faut encore admirer en elle, c’est que, jusqu’à présent, elle n’a pu faire, non plus, aucun pas en avant et que, par conséquent, selon toute apparence, elle semble close et achevée. »

Kant se trompait : il restait bien des progrès à faire ! Mais cet aveu est assez frappant (d’autant plus qu’on peut difficilement soupçonner Kant d’être très enclin au respect envers les Anciens en général ni envers Aristote en particulier).

 

Pour en apprendre encore bien davantage sur la syllogistique d’Aristote, vous pouvez lire l’article de Pierre Joray sur l’Encyclopédie Philosophique !

 

 

Deuxième épisode – Scepticisme : apprenez à ne rien savoir