[Edit 27 décembre] Voici enfin mon épisode consacré au paradoxe de Lewis Carroll ! (Pour éviter les doublons, je l’ajoute en modifiant ce billet qui présentait la traduction du texte.)
En 1895, dans la revue Mind, paraissait un bref dialogue de Lewis Carroll intitulé « What The Tortoise Said to Achilles » ; sous ses airs fantaisistes, il contient une réflexion très profonde sur les fondements de la logique, et je compte bien en parler dans le dernier épisode de ma série sur la démonstration et la connaissance.
Or il se trouve qu’il n’existe pas beaucoup de traductions de ce dialogue en français ; comme c’est très court et que traduire Lewis Carroll est forcément amusant, je me suis livré à l’exercice. Cela vous donne un avant goût du prochain épisode !
(La situation de départ du dialogue fait référence à l’un des paradoxes de Zénon ; mais le paradoxe qu’esquisse Lewis Carroll dans ce dialogue n’est pas du tout de même ordre. Le dialogue fait aussi fait allusion à la première proposition démontrée dans les Eléments d’Euclide : il s’agit de la construction d’un triangle équilatéral ABC à partir d’un segment AB. Mais peu importe : Lewis prend cet exemple avant tout en tant que démonstration la plus simple et élémentaire possible.)
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Ce que la Tortue dit à Achille
Achille avait rattrapé la Tortue et s’était assis bien à son aise sur son dos.
« Tu es donc arrivé au bout de notre course-poursuite », dit la Tortue. « Alors même qu’elle consiste bien en une série infinie de distances. Je pensais qu’un certain grand sage avait prouvé qu’une telle chose ne pouvait pas se faire. »
« Elle peut se faire », dit Achille. « Elle vient de se faire ! Solvitur ambulando*. Vois-tu, les distances diminuaient constamment, et donc… »
« Mais si elles avaient constamment augmenté ? » coupa la Tortue. « Qu’en serait-il ? »
« Alors je ne devrais pas être ici », répliqua modestement Achille. « Et toi, à cette heure, tu aurais fait plusieurs fois le tour du monde. »
« Flatteur, tu t’aplatis – ou plutôt m’aplatis », dit la Tortue, « car tu es un poids lourd, sans l’ombre d’un doute ! Bien, maintenant, te plairait-il que je te raconte une autre course-poursuite, dont la plupart des gens s’imaginent pouvoir arriver au bout en deux ou trois étapes, alors qu’elle consiste réellement en un nombre infini de distances, chacune plus longue que la précédente ? »
« Voilà qui me plairait beaucoup ! » dit le guerrier Grec en tirant de son casque (rares étaient les guerriers Grecs à disposer de poches à cette époque) un énorme cahier et un crayon. « Allons-y ! Et parle lentement, s’il te plaît ! La sténographie n’est pas encore inventée ! »
« Cette belle Première Proposition d’Euclide ! » murmura la Tortue avec un air rêveur. « Admires-tu Euclide ? »
« Passionnément ! Pour autant, tout au moins, que l’on puisse admirer un traité qui ne sera pas publié avant quelques centaines d’années. »
« Bien, maintenant, considérons un petit bout de l’argument dans cette Première Proposition – juste deux étapes, et la conclusion qui en est tirée. Aurais-tu l’amabilité de les inscrire dans ton cahier ? Et afin de s’y référer plus aisément, appelons-les A, B, et Z :
- (A) Des choses égales à une même chose sont égales entre elles.
- (B) Les deux côtés de ce triangle sont des choses égales à une même chose.
- (Z) Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux.
Les lecteurs d’Euclide admettront, je suppose, que Z est une conséquence logique de A et B, de sorte que quiconque accepte A et B comme vrais doit accepter Z comme vrai. »
« Sans aucun doute ! Le plus jeune collégien – dès que les collèges auront été inventés, ce qui n’arrivera pas avant quelques millénaires – admettra cela. »
« Et si quelque lecteur n’avait pas encore accepté A et B comme vrais, il pourrait cependant accepter l’enchaînement comme valide, je suppose. »
« Sans doute un tel lecteur pourrait exister. Il pourrait dire : « J’accepte comme vrai la proposition hypothétique suivante : si A et B sont vrais, Z doit être vrai ; mais je n’accepte pas A et B comme vrais. » Pour un tel lecteur, il serait sage de renoncer à Euclide et de se mettre au football. »
« Ne se pourrait-il pas aussi qu’un certain lecteur dise : « J’accepte A et B comme vrais, mais je n’accepte pas la formule hypothétique » ? »
« Certainement, cela se pourrait. Et un tel lecteur, aussi, ferait mieux de se mettre au football. »
« Et ni l’un ni l’autre de ces lecteurs », poursuivit la Tortue, « n’est jusqu’ici contraint, par quelque nécessité logique que ce soit, à accepter Z comme vrai ? »
« En effet, admit Achille.
« Bien, maintenant, je veux que tu me considères moi comme un lecteur de ce second genre, et que tu me forces, logiquement, à accepter Z comme vrai. »
« Une tortue qui jouerait au football, ce serait… » commença Achille
« … Une hérésie, à n’en pas douter ! » interrompit vivement la Tortue. « Ne détourne pas la conversation. Occupons-nous de Z d’abord, de football ensuite. »
« Je dois te forcer à accepter Z, c’est cela ? » dit Achille, songeur. « Et ta position actuelle est que tu acceptes A et B, mais que tu n’acceptes pas la formule hypothétique… »
« Appelons-la C », dit la Tortue.
« Mais tu n’acceptes pas :
- (C) Si A et B sont vrais, Z doit être vrai. »
« C’est ma position actuelle », dit la Tortue.
« Dans ce cas, je dois te demander d’accepter C. »
« Je l’accepterai », dit la Tortue, « dès que tu l’auras inscrit dans ton cahier. D’ailleurs, que contient-il d’autre ? »
« Juste quelques compte-rendus », dit Achille, compulsant nerveusement les pages : « quelques compte-rendus de… des batailles dans lesquelles je me suis distingué ! »
« Beaucoup de pages blanches, je vois ! » fit remarquer la Tortue avec entrain. « Nous aurons besoin de toutes ! » (Achille frissonna.) « Maintenant, écris ce que je te dicte :
- (A) Des choses égales à une même chose sont égales entre elles.
- (B) Les deux côtés de ce triangle sont des choses égales à une même chose.
- (C) Si A et B sont vrais, Z doit être vrai.
- (Z) Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux. »
« Tu devrais l’appeler D, pas Z », dit Achille. « Cela vient juste après les trois autres. Si tu acceptes A et B et C, tu dois accepter Z. »
« Et pourquoi le dois-je ? »
« Parce que c’en est une conséquence logique. Si A et B et C sont vrais, Z doit être vrai. Tu ne contestes quand même pas cela, j’imagine ? »
« Si A et B et C sont vrais, Z doit être vrai », répéta pensivement la Tortue. « N’est-ce pas là une autre formule hypothétique ? Et, si j’échouais à reconnaître sa vérité, je pourrais bien accepter A et B et C, sans pour autant accepter Z, n’est-ce pas ? »
« Cela se pourrait », reconnut le franc héros. Mais un esprit obtus à ce point serait vraiment phénoménal. Pour autant, un tel cas est possible. Je dois donc te demander d’admettre encore une formule hypothétique de plus. »
« Très bien. Je suis tout à fait prêt à l’accepter, dès lors que tu l’auras couchée sur le papier. Nous l’appellerons :
- (D) Si A et B et C sont vrais, Z doit être vrai.
As-tu bien inscrit cela dans ton cahier ? »
« C’est fait ! » s’exclama joyeusement Achille tout en rangeant son crayon dans sa trousse. « Et enfin nous sommes arrivés au bout de cette course-poursuite théorique. Maintenant que tu acceptes A et B et C et D, il va de soi que tu acceptes Z. »
« L’accepté-je ? » dit la Tortue avec innocence. « Rendons cela tout à fait clair. J’accepte A et B et C et D. Suppose que, pour autant, je refuse d’accepter Z. »
« Alors la Logique te sauterait à la gorge et te forcerait à le faire ! » répliqua triomphalement Achille. « La Logique te dirait « Tu ne peux plus y échapper. Maintenant que tu as accepté A et B et C et D, tu dois accepter Z » Donc tu n’as plus le choix, vois-tu. »
« Si la Logique est assez bonne pour me dire quelque chose, cela mérite d’être couché sur le papier », dit la Tortue. « Donc inscris-le dans ton carnet, s’il te plaît. Nous l’appellerons :
- (E) Si A et B et C et D sont vrais, Z doit être vrai.
Tant que je n’ai pas admis cela, il va de soi que je n’ai pas besoin d’admettre Z. C’est donc une étape tout à fait nécessaire, vois-tu ? »
« Je vois », dit Achille ; et il y avait une note de tristesse dans sa voix.
Ici le narrateur, ayant une affaire urgente à régler à la banque, fut forcé de quitter ces deux joyeux drilles, et n’eut l’occasion de repasser par ce lieu que quelques mois plus tard. Achille était toujours assis sur le dos de l’infatigable Tortue, et écrivait dans son cahier, qui semblait presque rempli. La Tortue disait : « As-tu bien inscrit cette dernière étape ? Si je n’ai pas perdu le compte, ce sera la mille et unième. Il y en a des millions encore à venir. Et voudrais-tu bien, à titre de faveur personnelle, eu égard aux nombreux enseignements que les logiciens du dix-neuvième siècle tireront de notre entretien – voudrais-tu bien adopter un bon mot que pourrait faire un jour ma cousine la Fausse-Tortue, et te laisser appeler (toi qui raisonnes de travers) : Achille le tortu ? »
« Comme il te plaira » répliqua le guerrier sans force, dont la voix creuse trahissait le désespoir, ensevelissant son visage dans ses mains. « Pourvu que toi, en retour, tu adoptes un bon mot que la Fausse-Tortue n’a jamais fait, et te laisses appeler (toi qui raisonnes si bien) : Agile, la Tortue !** »
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Traduction : Thibaut Giraud
* : Solvitur ambulando = résolu en marchant, en latin. On rapporte que c’est ce que Diogène de Sinope aurait répondu (en Grec, du coup) à Zénon présentant ses paradoxes sur l’impossibilité du mouvement, se levant et sortant pour prouver le contraire. La locution latine est utilisée en référence à cela pour évoquer un problème théorique résolu par une expérience pratique.
** : Toute cette fin du dialogue est très librement traduite dans la mesure où le texte anglais repose sur deux jeux de mot intraduisibles : d’abord ‘Tortoise’ et ‘Taught us’ – en référence à un passage d’Alice au pays des merveilles, mettant en scène le personnage de la Fausse-Tortue (Mock-Turtle) qui utilise ce même jeu de mot ; et ensuite ‘Achilles’ et ‘A Kill-Ease’.
Monsieur Phi 
Autrement dit, la méthode d’inférence fait partie du système axiomatique ?
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La conclusion qu’on tire de tout cela, en général, c’est plutôt l’inverse : les règles d’inférence d’une théorie n’appartiennent pas au langage de la théorie.
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Ne peut on pas inclure le principe d’inférence de façon plus générale comme prémisse C, afin que son acceptation implique l’acceptation de toutes les autres prémisses suggérées par la tortue ?
Quelque chose comme « Si des prémisses sont vraies et qu’elles impliquent qu’une conclusion soit vraie alors la conclusion est vraie »
Si la tortue dit qu’elle doit alors acceptée que si A et B et C sont vraies alors Z est vraie, Achille lui fait remarquer qu’elle l’a déjà accepté en acceptant C.
La tortue peut-elle ne pas accepter cela ?
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C’est un peu obscur… mais tout cela deviendra un peu plus clair lorsque le dernier épisode de cette série sera enfin sorti !
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Je me souviens de la première fois que j’ai lu ce dialogue. Enfin en tout cas du cheminement que j’ai eu.
D’abord « mais enfin c’est idiot, comment la tortue peut-elle accepter des prémisses et pas leur conséquence alors qu’elle semble accepter l’inférence ? » (bon ce n’était pas formulé de cette façon, plutôt « mais quelle débile cette tortue ! », mais c’était l’idée). J’étais proche de lâcher l’affaire mais je me suis dit que je voulais voir où ce dialogue allait mener, pour finalement en comprendre le but.
Avec d’autres expériences de pensée de la même espèce, je pense que cela a contribué au fait que j’essaie d’aller au bout des argumentaires même quand le point de départ me semble farfelu…
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Je me souviens de la première fois que j’ai lu ce dialogue. Enfin en tout cas du cheminement que j’ai eu.
D’abord « mais enfin c’est idiot, comment la tortue peut-elle accepter des prémisses et pas leur conséquence alors qu’elle semble accepter l’inférence ? » (bon ce n’était pas formulé de cette façon, plutôt « mais quelle débile cette tortue ! », mais c’était l’idée). J’étais proche de lâcher l’affaire mais je me suis dit que je voulais voir où ce dialogue allait mener, pour finalement en comprendre le but.
Avec d’autres expériences de pensée de la même espèce, je pense que cela a contribué au fait que j’essaie d’aller au bout des argumentaires même quand le point de départ me semble farfelu…
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Bonjour Monsieur Phi!
Il est vrai que le problème de Lewis Carroll est troublant. Mais selon moi, Achille ne peut forcer logiquement la tortue à accepter Z comme vrai. La tortue refuse les raisonnements hypothético-déductifs. Lewis Carroll montre alors qu’il n’y a pas de limite au nombre de règles qui permettrait de forcer la tortue à accepter Z. Je rate surement quelque chose …!?
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La Tortue ne refuse rien : elle est prête à tout accepter pourvu qu’on dise clairement les choses. La question en gros est de savoir ce qu’Achille doit marquer dans son carnet de sorte que, en acceptant ce qui est inscrit dans son carnet (et rien d’autre que ça), la Tortue soit logiquement contrainte d’accepter la conclusion.
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Mais il est écrit que l« Ne se pourrait-il pas aussi qu’un certain lecteur dise : « J’accepte A et B comme vrais, mais je n’accepte pas la formule hypothétique » ? ». La tortue refuse donc la forme hypothétique de Si(A) et Si(B) Alors Z, non? Achille peut marquer autant de clauses qu’il veut, cela ne convaincra pas la tortue. Une infinité d’hypothèses ne crée aucune certitude sur A et B, me semble-t-il.
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Bonsoir.
Contrairement à l’annonce en début d’article, Je ne saisis pas en quoi il y a de la profondeur dans cette reflexion.
Il est déjà suffisant de savoir que A et B sont vrais pour en déduire que Z est vrai.
(en fait, on pourrait même se passer d’énoncer A)
déjà, la proposition C est redondante puisque elle ne fait qu’énoncer cela.
mais elle a le mérite d’abstraire A et B.
alors accepter C équivaut à accepter Z
La tortue perds quand elle accepte C
Elle ne peut pas à la fois accepter A et B et C et réfuter Z car cela reviendrait à réfuter C qu’elle accepte.
La suite n’apporte strictement rien.
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Je comprends maintenant que la position de la tortue est absurde (illogique) dès qu’elle accepte ABC et refuse Z. Ok. La morale de cette histoire est que l’on ne peut pas convaincre une personne illogique en usant de logique. Non?
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Sauf à lui faire percevoir l’absurdité de sa position (ce qu’elle peut refuser), il n’y a en effet pas de moyen. Maintenant, si on parle bien d’Achille fils de Pélée, il me parait peu crédible que que sa patience tienne jusqu’à la 1001ème…
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Plutôt que de passer par la distinction entre langage et méta-langage pour résoudre le paradoxe, il peut être intéressant de revenir à la notion même de démonstration, et à son rôle fondamental d’un point de vue épistémique.
En effet, qu’est-ce qui me permet d’affirmer la vérité de la proposition A⇒Z ? Ce n’est certainement pas sa reformulation dans le « méta-langage » énonçant que si A est vraie, alors Z est vraie; c’est plutôt le fait que je connais une **démonstration** (et je dis bien une, car il peut y en avoir plusieurs) de la vérité de Z *sous l’hypothèse* que A est vraie.
Prenons le cas le plus basique où A et Z sont des propositions atomiques, c’est-à-dire sans connecteurs logiques. Ce qui me permet d’affirmer la vérité de A, c’est à nouveau le fait que j’en connais une démonstration, mais qui est cette fois-ci *catégorique*, c’est-à-dire que je n’y fais aucune hypothèse.
Ce que nous dit la règle du *modus ponens*, c’est qu’à partir du moment où je connais ces deux démonstrations, je suis capable de les **composer**. Cela signifie tout simplement qu’au lieu de supposer que A est vraie dans la première démonstration, je peux me permettre de l’affirmer de manière catégorique grâce à la seconde démonstration. J’arrive ainsi à la conclusion que Z est vraie, et cette affirmation n’est plus hypothétique, mais bien catégorique.
Ce qu’il faut comprendre, c’est qu’à aucun moment dans mon explication je n’ai fait appel à une formulation dans un méta-langage de type « si…alors… » : les concepts de démonstration, de proposition, et d’affirmation hypothétique ou catégorique sont bien suffisants pour définir celui d’implication, et pour justifier de manière tout à fait intuitive d’un point de vue épistémique la règle du *modus ponens*.
Pour revenir au paradoxe, l’erreur de la tortue est de refuser toute étape déductive dans son raisonnement : il suffit en effet de consulter un dictionnaire pour se rappeler que *déduire* signifie avant tout *soustraire*. Or la tortue ne fait qu’*ajouter*, emboîter indéfiniment des implications, sans jamais s’autoriser à faire *usage* de leurs démonstrations afin de déduire de la vérité de A la vérité de Z. Et ce malgré les tentatives du pauvre Achille pour lui inculquer un minimum de bon sens, en fait de logique; car toute hypothèse n’est que temporaire, en ce qu’elle a pour vocation d’être éliminée en faveur d’une affirmation certaine, c’est-à-dire démontrée.
**P.S. :** Pour ceux que ça intéresse, je ne tire pas cette analyse de mon chapeau : je reprend essentiellement la conception de la logique (intuitionniste) comme théorie de la connaissance proposée par le logicien Per Martin-Löf (cf. cet article -> http://www.ae-info.org/attach/User/Martin-Löf_Per/OtherInformation/article.pdf), ainsi que la distinction usine/usage du logicien Jean-Yves Girard (qui effectue d’ailleurs une critique du paradoxe dans son très bon livre *Le fantôme de la transparence*).
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quand vous dites « ’à partir du moment où je connais ces deux démonstrations, je suis capable de les **composer** », n’y a t il pas ici un « si… alors » caché ?
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[Ce message n’a pas vocation à contester la pertinence du paradoxe, mais juste un bout d’une demi-seconde, quand la Tortue est qualifiée de « logique ». Oui, je fais ch*er]
Voilà.
Je viens de trouver quelques mots pour expliquer mon malaise. Ce ne sera sans doute pas meilleur que ceux des autres (voire pire), mais j’aimerais exprimer l’idée qui me turlupine depuis que je connais ce paradoxe (c’est le but d’un paradoxe, non ?)
Voilà, ce qui me dérange, c’est que la Tortue soit qualifiée de « logique ». Non. Elle est de bonne volonté, elle est gentille, mais elle n’est pas logique, dans le même sens que quelqu’un qui a une opération mathématique (ex : 1+1 ou 2*1, etc.) et n’en tire pas de résultat n’est pas « mathématique ».
Le problème de cette Tortue, c’est qu’elle se refuse à poser le raisonnement, c’est-à-dire qu’elle se refuse à tirer le résultat des prémisses, parce qu’elle décompose comme Zénon le fait avec les distances, etc. Ça on le sait.
Mais ce besoin de prémisses infinies pour tout fonder empêche, justement, de poser le raisonnement logique, de le faire aboutir à un résultat.
En somme, la Tortue est simplement dans l’impossibilité de « monter la marche », passer au résultat, parce que c’est quelque chose qu’elle ne veut même pas envisager.
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1+1 ne fait pas toujours 2
Si tu ne démontres pas ce qu’est 1 et ce que fais 1+1
1+1 peut faire 1 (algèbre de Boole)
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Ping : La règle des règles | Grain de philo #14 (Ep.6) | Monsieur Phi
Hey,
Je me demandais juste si comme prémisse n3 (C) on ne pouvait pas mettre :
« Si A et B et C (moi même) sont vrai alors Z est vrai » ?
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En logique classique on se refuse à faire mention d’une formule dans celle-ci car ceci peut conduire à des contradictions (la plus simple étant probablement « cette proposition est fausse »). Au passage ton approche correspondrait à la structure 2 de réponse au trilemme d’Agrippa (la chaine forme une boucle), là où celle d’Achille correspondrait à la structure 1 (déroulement infini).
Cependant, la tortue pourrait là encore répondre qu’elle ne comprend pas et qu’il faut ajouter une règle, du style « si on a un paquet de propositions vraies, et qu’on a l’implication de ces propositions vers une autre proposition, alors cette dernière proposition est vraie ». (ce qui est en fait la règle que tu as utilisée implicitement). En fait on ne pourra jamais raisonner de quoi que ce soit avec cette tortue, tu peux te la figurer comme un élève qui dit toujours « d’accord » quand tu lui affirmes quelque chose mais qui répond toujours « non » quand tu lui demandes si il a compris.
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